第一章  勾股定理

  1.1  定理及简史

  1.2  定理的证明

  1.3  定理的变形与推广

  1.4  定理的应用

  1.5  勾股定理及其他

第二章  光反射定理

  2.1  定理及简史

  2.2  定理的证明

  2.3  定理的推广

  2.4  定理的应用

第三章  黄金分割

  3.1  定义及简史

  3.2  黄金分割的几何作法

  3.3  黄金数的各种趣式

  3.4  黄金三角形、黄金矩形、黄金椭圆、黄金长方体

  3.5  奇异三角形与黄金数

  3.6  在几何作图中的应用

第四章  梅内劳斯定理

  4.1  定理及简史

  4.2  定理的证明

  4.3  定理的推广

  4.4  定理的应用

第五章  塞瓦定理

  5.1  定理及简史

  5.2  定理的证明

  5.3  定理的变形与推广

  5.4  定理的应用

第六章  秦九韶公式

  6.1  公式及简史

  6.2  公式的证明

  6.3  公式的推广

  6.4  公式的应用

第七章  托勒密定理

  7.1  定理及简史

  7.2  定理的证明

  7.3  定理的推广

  7.4  定理的应用

第八章  角平分线定理

  8.1  定理及简史

  8.2  定理的证明

  8.3  定理的引伸与推广

  8.4  定理的应用

第九章  阿波罗尼奥斯定理

  9.1  定理及简史

  9.2  定理的证明

  9.3  定理的引伸与推广

  9.4  定理的应用

  ……

第一章  勾股定理

§1.1  定理及简史

 勾股定理直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

 若设a、b、c为直角三角形的三边，c为斜边，则

a2+b2=c2.

 我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理.

 勾股定理是初等几何中最精彩、最著名、最有用的定理.它的重要意义表现在哪些方面呢？张顺燕，《数学的源与流》，高等教育出版社，2006:136.

 1.它的证明是论证几何的发端；

 2.它是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；

 3.它导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；

 4.勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程,它引出了费马大定理；

 5.它是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值.

 这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用.1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首.

今天世界上许多科学家都在试探寻找与其他星球“人”交流的“语言”，我国著名数学家华罗庚曾建议，发射勾股定理的图形，如果宇宙“人”也拥有文明的话，他们应该能识别这种“语言”.可见勾股定理的重要意义.

 勾股定理从被发现至今已有5000多年的历史，5000多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理.古埃及人在建筑金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，就应用过勾股定理.我国也是最早了解勾股定理的国家之一，在4000多年前，我国人民就应用了这一定理，据我国一部古老的算书《周髀算经》（约西汉时代，公元前100多年的作品）记载，商高（约公元前1120年）答周公曰：“勾广三，股修四，径隅五”.这句图1-1话的意思就是：在直角三角形中，若勾长为3，股长为4，则弦长为5.这就是人们常说的“勾三，股四、弦五”，这当然是勾股定理的特殊情形.但这本书中同时还记载有另一位中国学者陈子（公元前7~前6世纪）与荣方在讨论测量问题时说的一段话：“若求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（图1-1）.

即邪至日=勾2+股2.

这里给出的是任意直角三角形三边间的关系.因此，也有人主张把勾股定理称为“陈子定理”.

 2000多年前，由于希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前585~前497年）学派也发现了这条定理，所以希腊人把它叫毕达哥拉斯定理.相传当时的毕达哥拉斯学派发现，若m为大于1的奇数，则m、m2-12m2+12、便是一个可构成直角三角形三边的三元数组.果真如此，可见这个学派当时是通晓勾股定理的.但这一学派内部有一规定，就是把一切发明都归功于学派的头领，而且常常秘而不宣.据传说，发现这个定理的时候，他们还杀了100头牛酬谢供奉神灵，表示庆贺.因此，这个定理也叫“百牛定理”.至于毕达哥拉斯学派是否证明了这一定理，数学史界有两种不同的观点，一种意见认为证明过，理由如前所述.另一种意见则认为证明勾股定理要用到相似形理论，而当时毕达哥拉斯学派没有建立完整的相似理论，因此他们没有证明这一定理.

 勾股定理在法国和比利时又叫“驴桥定理”，这自然也有它的来历.

 人类对勾股定理的认识经历了一个从特殊到一般的过程，而且在世界上很多地区的现存文献中都有记载，所以很难区分这个定理是谁最先发现的.国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯学派首先发现的，因此，国外称它为毕达哥拉斯定理.历史文献确凿地证明，商高知道特殊情况下的勾股定理比毕达哥拉斯学派至少要早五六个世纪，而陈子掌握普遍性的勾股定理的时间要比毕达哥拉斯早一二百年，这就是我们把它称为“勾股定理”、“商高定理”或“陈子定理”的理由.

§1.2定理的证明

几千年来，人们给出了勾股定理的各种不同的证明，有人统计，现在世界上已找到它的证明方法有400多种.仅1940年，由鲁米斯（E.S.Loomis）搜集整理的《毕达哥拉斯定理》一书就给出了370种不同的证明.

图1-2我们的祖先对勾股定理作过较深入的研究.公元3世纪三国时期数学家赵爽（字君卿）在对《周髀算经》作注时给出一张“弦图”（图1-2），并附“勾股圆方图说”一段文字：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦.案：弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差相乘之为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里第一句话是对勾股定理的一般陈述，“案”以下的文字是对“弦图”之构造的解说，也是对勾股定理的一个完整的证明.

《周髀算经》（宋刻本）

弦图上海图书馆藏

图1-3赵爽的“弦图”已失传，现在能看到的采自上海图书馆宋刻的《周髀算经》（图1-3）.对于赵爽的“弦图”及文字，钱宝琮先生解释为：“实”指面积，把图中（△ABC等）四个直角三角形涂上朱色，其面积叫做“朱实”，中间的正方形（CDEF）涂上黄色，其面积叫做“中黄实”.于是上文用算式表示就是

ab=2S△ABC，（勾股相乘为朱实二）

 2ab=4S△ABC（倍之为朱实四）

 （b-a）2=SCDEF（勾股之差相乘之为中黄实）

 2ab+(b-a)2=c2(=SABGH)（加差实，亦成弦实）

即

a2+b2=c2.

李文林先生则运用面积出入相补法对“弦图”进行解读，他认为，钱先生的解释：即从“2ab+(b-a)2=c2化简为a2+b2=c2”，这种代数运算，在当时还没有基础.根据吴文俊先生“古证复原”原则，“面积出入相补法”的解释可能更接近事实.

图1-4“弦图”作为我国古代数学成就的代表得到公认，并把它作为2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽（图1-4）.

赵爽的“弦图”开了面积出入相补证法的先河，至今还被采用.

还有三国时期刘徽、清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳等，创造了许多不同的面积证法，下面将他们研究的图形录绘若干幅，如图1-5，从中我们可领会他们研究的神妙.图1-5

现存勾股定理最早的证明出自欧几里得（Euclid，约公元前330~前275年）的《几何原本》命题47.他把勾股定理换成了另一种形式：“直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和”.其证法是（如图1-6）

图1-6先证

△ABD≌△FBC .

S矩形BDLM=2S△ABD，

S正方形ABFG=2S△FBC .

从而

S矩形BDLM=S正方形ABFG；

同理

S矩形CELM=S正方形ACHK .

上述两式相加即得

S正方形BCED=S正方形ABFG+S正方形ACHK .

但上述证法不是最简的，最简的证法是利用相似三角形的理论证明.

如图1-7，作直角三角形ABC斜边AB上的高CD，则△ABC∽△ACD∽△CBD，

图1-7有a2=qc，b2=pc，

所以a2+b2=qc+pc=(q+p)c=c2.

值得一提的是在多达400多种的证法之中，居然有两种证法一个出自美国第二十届总统加菲尔德（Garfield,1831~1881年）之手，另一个是由身为国王的印度数学家婆什迦罗（Bhaskara,1114~1185年）给出.

 1876年4月，加菲尔德在波士顿周刊《新英格兰教育杂志》上发表了勾股定理的一个别开生面的证法.1881年他当选为总统，于是他的证明也就成为人们津津乐道的一段轶事了.

图1-8 加菲尔德的证法确实十分干净利落.如图1-8，在直角△ABC的斜边上作等腰直角△BCE，过E作ED⊥AC交于D，则有△ABC≌△DCE.

设梯形ABED面积为S，则S=12（a+b）2=12(a2+2ab+b2),

又S=S1+S2+S3

=12c2+12ab+12ab

=12(c2+2ab).

两式比较即得a2+b2=c2.

 婆什迦罗的证明也很奇妙：

如图1-9（a）是由四个直角三角形和一个正方形构成的一个边长为c的大正方形，因而其面积为c2，中间的小正方形的边长是b-a.把(a)中的四个直角三角形拼成两个长方形，再与小正方形拼在一起，得到图（b），在该图中引一铅垂虚线，标上各边的长，适当简化后恰好成为图（c）所示的由边长分别为a、b的两个正方形组成.因此有c2=a2+b2，勾股定理得证.图1-9

至今，还不断有勾股定理新的证法出现.下面选举两例：

图1-10新证一（见美国《数学教师》1990年第四期）如图1-10，以B为圆心，以BA为半径作圆，交BC所在直线于D、E，交AC延长线于F，则有

FC=CA=b，BD=BA=BE=c.CD=c-a，CE=c+a.

由相交弦定理，得

b·b=(c+a)(c-a)即a2+b2=c2.

新证二（张劲松，2009年《数学通报》4期）如图1-11，在AB上截取BD=a，延长AB至E，使得BE=a，并联结CD、CE，则∠DCE=90°，得∠ACD=∠BCE=∠BEC.由此，△ACD∽△ACE，故图1-11

bc-a=c+ab，即a2+b2=c2.

勾股定理的逆命题成立，而且应用也很广泛.