第一章  导论

  1.1 问题提出的背景

    1.1.1 数学无限的认识发展一瞥

    1.1.2 对数学无限的认识窘状

  1.2 研究的问题

    1.2.1 研究的线索一：学生对无限的诸层次的认识状况和影响因素

    1.2.2 研究的线索二：学生对相关数学无限概念的理解

  1.3 本研究的意义

  1.4 本书的结构

第二章  文献述评和研究思想框架的形成

  2.1 关于无限的界定

    2.1.1 关于哲学上的无限的界定

    2.1.2 关于数学哲学上的无限界定

    2.1.3 本书所研究的数学无限的界定

  2.2 无限思辩的两个观点

    2.2.1 哲学意义上的潜无限和实无限

    2.2.2 数学上的潜、实无限观的认识发展一瞥

    2.2.3 数学上的三大流派对无限的不同观点

    2.2.4 小结

  2.3 对无限认识的研究综述

    2.3.1 对个体实无限的认识研究

    2.3.2 关于无限的隐喻(metaphor)研究

    2.3.3 关于无限认识的分类研究

  2.4 研究思想架构的形成

    2.4.1 学习的认知弹性理论

    2.4.2 数学概念学习的APOS理论

    2.4.3 无限认识层次划分的依据

    2.4.4 层次划分

    2.4.5 无限认识量表使用说明

……

第一章  导论

1.1  问题提出的背景

无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清……

——Hilbert(1862~1943)

数学是无限的科学（Howell）

根据我的理解，人类的不幸来自于他的伟大；因为他的心中有一个无穷大，人类借助于他所有的技巧，也无法把它埋藏在有限之中。

——TomasKalire（1795~1881）

Kant甚至认为，时间和空间无限本身并不存在，只是人为构造的性质，是经过人脑努力而存在于人脑外部世界。

很多领域都提到了无限。绘画家Escher在他的绘画里画出了无穷大，而没有别的艺术家曾这样做。在文学中，无限是一种意境。“孤帆远影碧空尽”，“无边落木萧萧下”，是一种心境的抒发。最能直接反映古人无限的诗句，则是初唐诗人陈子昂的诗：

“前不见古人，后不见来者；

念天地之悠悠，独怆然而涕下。”

诗人描写了时间两端“茫茫均不见”的感受，并对天地间张开的悠悠宇宙寄以无限的遐想。

自然科学里，也要涉及无限。例如，“物质可以无限分割成分子、原子、粒子……，可以无穷尽地分割下去。”化合物的种类，生物的进化，都是无限的过程。不过，这里涉及的无限，不过是一种信念，类似于哲学上关于“宇宙是无限”的学说。Bruno为此付出了生命。然而，现代宇宙物理学的研究表明，宇宙有一个起点，时间也有一个起点。他们面对的是有限的宇宙。

其他人只是描绘无穷大，只有数学是正面研究无限，并将它付诸实施。（例如地图的设计等）。“在Montessori式的学校或幼儿园里，儿童到了某一个阶段时，教师就让他们在长纸条上写数：1，2，3，…10，11….有一个小女孩专心致志地埋头于这一活动。当她写到1024时，不肯再写下去了，而说，就这样继续下去。这就是对无限的认识，这是很了不起的。”(Freudenthal，1970，p.23)人类首先认识到自然数是无限的，1，2，…n，…永远数不尽。数数给我们的经验是，计数不是最终目的，明确地描述行为本身才是目的。人类在不断地认识无限中获得理性哲理，无限推动着数学的发展，从某个角度讲，整个数学的发展就是无限的发展史。如果没有无穷概念，就没有微积分方法，就没有傅里叶分析以及小波分析；“如果没有无穷大的概念，我们将很难看出数学将如何存在，因为一个孩子最先学到的数学——如何数数——就是以每一个整数都有一个后继者这一不言而喻的假定为基础”。(转引张远南，1996，p.35)也许狗和猫能做加减法，却无法把握无限。就个体认识而言，认识无限是人类区别于动物的最本质的区别之一。可以说，只有数学家真正系统解决了无限的认识问题。

1.1.1  数学无限的认识发展一瞥

无穷大始终充满着神秘色彩。哲学家对无限有自己的诠释。有样东西不能证明自己，而且一旦它能够证明自己，它就会不存在，这件东西是什么？它就是无穷大！（Leonardo Da Vinci）

诚然，数学的发展源于实践，尼罗河的定期泛滥迫使人们丈量土地，丰富了几何学知识。但数学局限于实践往往难有长足发展。以算法见长的印度、中国、巴比伦和埃及的古代数学往往局限于日常生活中的实际问题，例如面积、体积、重量和时间的测量。在这样一种系统中，没有无穷大这种玄虚概念的存在空间。这是因为我们的日常生活中没有什么东西直接与无穷大打交道，无穷大只有等待，直到数学从一个严格的实用学科转化成一个智力学科为止；这种转化于公元前6世纪前后发生在希腊，所以希腊人最先认识到无穷大的存在是数学的一个中心问题。

但这一过程并不是一帆风顺的，而是经历了很多曲折。希腊人是几何学大师，可是他们对代数的贡献却非常少，所以他们无法体会代数语言的主要优点——它所提供的普遍性以及它所具有的以一种抽象方式表达变量之间关系的能力。正是这一事实，而不是其它的任何东西，才产生了他们对无穷大的恐惧，他们对无穷大存在根深蒂固的怀疑。“无穷大曾经是禁忌”，Tobias Dantzig在他的经典著作《数，科学的语言》一书中说，“必须不惜任何代价回避它；否则，如果做不到的话，必须借助到达荒谬程度的理由把它隐藏起来。”

第一个向无限进军的勇士是Emulous（Chides, 公元前4世纪）。人们只知道Euclid（约公元前330~275）的伟大，实际上更加伟大而深刻的是Emulous。当Pythagoras学派发现了涉及无限的无理数之后，发生了所谓的第一次数学危机。 这是因为数学的许多基础性定理（加法交换律、矩形面积等于长乘宽，平行线切割定理等）起初只对整数有效，顶多可以扩充到有理数。那么对新发现的无理数是否还成立呢？这是涉及数学大厦基础是否可靠的大问题。Emulous采用“穷竭法”进行论证，最后说：“可以”，危机随之结束。这是非常了不起的成就。

……