素数中可穷尽和不可穷尽现象探析——从对欧几里得的证明的质疑说起

起效素数的有效排除力总和与自然数扩围的素数的量

起效素数的有效排除力总和与素数两个猜想——着重于对罗卡尔命题、杰波夫猜想的证明

自然数“235状态”与素数若干问题

哥德巴赫猜想成立的两种证明方法

有关素数的其他问题

附表之一起效素数数与新生素数的量比对表

附表之二起效素数有效排除力总和一览表（一）

附表之三起效素数有效排除力总和一览表（二）

素数研究之“敢言”——写在前面的话

2015年10月18日，《素数若干问题探析及证明》一书的书稿已完成第三次修改。此书虽经几易其稿，但笔者仍然感到还存在许多不足。因为，本人乃是一位数学研究的爱好者。

本人对素数的研究始于20世纪80年代中期，至今已有30年，取得较大成果的是在近5年。21世纪初，本人发现了图的形成过程的循序逐增原理。在2010年《四色猜想命题》一书定稿之后，笔者便将循序逐增原理用之于数（包括自然数、素数、组合数等）的研究上，从中发现了素数若干问题的奥秘，对素数的研究才有较大的突破。

本著的最大特点和亮点就是“创新和发现”。这主要体现在破题的思维方法创新和观点创新两个方面。而破题的思维方法创新，是指作者不受传统思维方式束缚，另辟蹊径，独创证明思路。而观点创新，是指作者对素数的现象及问题的分析，有独特的眼光和独特的见解，提出了一系列新观点和新概念。比如，关于“素数没有穷尽问题”，作者提出了“完整内涵”和“单一内涵”的新观点，又从“完整内涵”和“单一内涵”提出了“素数没有穷尽问题”的证明点，并非是求证“集合”之外存在“更大素数”，而是对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象做出科学解答。又比如，作者根据哥德巴赫猜想表达的内涵，认为寻求到既能反映奇素数共同特征、又能被偶数所接受的数学式子才是破题的关键点，只有找到这样的式子，才能使猜想变为一种数学证明。还比如，作者提出了“起效素数”“素数有效排除线”“素数的有效排除力”“自然数‘235状态’”“素数黄金带”等新概念。

本著以“引子”引出欧几里得对素数没有穷尽问题证明的疑点，指出其疑点的核心问题是证明点错位，其证明原理不能对“再假设”证明进行下去，对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象不能做出科学解答；笔者以素数中三个不可理解性问题为切入点，找到了素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象的根本原因，避开除数（即合数的约数）将合数排除出素数之外的过程中的“重复排除”“无关排除”的因素，依照循序逐增原理，创立了素数的扩延范围单位，从中求得（单个）素数的有效排除力定理和整体素数的有效排除力定理（即起效素数的有效排除力总和定理），应用素数的有效排除力定理对“为什么偶素数可穷尽”“为什么个位数为5的奇素数可穷尽”“为什么个位数为1、3、7、9的奇素数不可穷尽”诸问题做出了证明；对欧氏证明的疑点及其原因进行了解读、分析。

本著遵循素数与自然数同存相随及循序逐增原理，创立了新的“自然数的扩延范围”的表达式，求得自然数扩延范围的素数的量与起效素数的有效排除力总和两者关系之定理，从新生素数无穷多个的角度对素数没有穷尽问题做出证明。

本著应用自然数扩延范围的素数的量与起效素数的有效排除力总和两者关系之原理，对罗卡尔关于“两个素数的平方之间至少有4个素数”的命题和杰波夫关于“在n2和(n+1)2之间有一定素数”猜想做出证明。笔者还发现并证明“在‘（n-1）×n至n×n之间’和‘n×n至n×（n＋1）之间’存在一定素数”的问题。笔者创建了自然数“235状态”和“6×m±1”等式，对新生素数、孪生素数、四子孪生素数的特征进行了解读，对孪生素数以及四子孪生素数没有穷尽问题做出证明。笔者将寻求素数的表达式及其得数称之为“素数黄金带”，并根据正整数方阵的原理，找到了一种可找到优质“素数黄金带”的形态。

本著找准了破解哥德巴赫猜想的关键点，寻求到既能反映奇素数共同特征、又能被偶数所接受的两个表达式，进而寻求到证明哥德巴赫猜想能够成立的两种方法。两种方法的证明结果表明，哥德巴赫猜想成立。

本著还对素数的其他问题提出了作者自己的观点，提出了有关素数的若干猜测，其中猜测素数与自然数的比率不可逾越1%的底线（即不可能低于1%）。

本著后面还附有三个“附表”，以供素数研究者在研究素数时参考。

在此，笔者要多说两句的，之所以对欧几里得对素数没有穷尽问题的证明提出质疑为引子，是因为，早在2005年，笔者曾对欧氏证明提出质疑，并将自己的观点写成稿件投往某学报发表。由于当时缺乏对欧氏证明过程的了解，没能抓住本质性的核心问题，当然被作退稿处理。不过，该学报编辑在“审稿人意见”栏中写的，将欧氏证明称为“这一证明非常严谨，无纰可挑，无漏可找。既简明，又科学，是归谬证明的千古传诵的优秀典范”的赞语，笔者仍记忆犹新。因为，笔者深知，此位编辑的赞语，实际上是两千多年来数学界一致认同的赞语。在10年之后，笔者再次对欧氏证明提出质疑，是在于笔者真正抓住了欧氏证明疑点的本质性的核心问题。而这，也许仅仅是笔者的观点而已。笔者更知道，自己这样做，简直是在做一件“蚍蜉撼大树”之事。

“敢言”“敢言”，既有作者感慨之言，也有作者狂态之言。然而，不管是何“言”，都是我的真言。笔者真诚希望本著能成为素数研究方面的一块可引来“玉”的“砖”，同时以“虚心加诚心”的态度，恳请同仁们提出宝贵意见。

作者张尔光

2015年10月18日于广州

素数中可穷尽和不可穷尽现象探析——从对欧几里得的证明的质疑说起

摘要本文以“引子”引出欧几里得证明的疑点，指出欧氏证明原理不能对“再假设”证明进行下去，对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象不能做出科学解答；以素数中三个不可理解性问题为切入点，找到了素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象的根本原因，应用素数的有效排除力原理对“为什么偶素数可穷尽”“为什么个位数为5的奇素数可穷尽”“为什么个位数为1、3、7、9的奇素数不可穷尽”诸问题做出了证明；对欧氏证明的疑点及其原因进行了解读、分析。

关键词欧几里得素数可穷尽不可穷尽质疑证明点

1.引子——钝夫的质疑

这天，数学研究爱好者钝夫与数学教授聪生一起讨论素数没有穷尽问题。钝夫请教说：“假设第48个梅森素数为最后一个素数，即素数至此已穷尽，那你肯定不会认同。但不知你如何来证明我的观点是错的。”聪教授笑着说：“早在公元300年前古希腊数学家欧几里得就已证明了素数没有穷尽问题。依照欧氏定理和你给出的假设，证明式子是‘K=2×3×5×……×第48个梅森素数+1’,K要么是素数，要么是多个素因数相乘的积，K或其素因数都必定是‘集合’之外的更大素数，即是比第48个梅森素数还要大的‘更大素数’。因此，第48个梅森素数之后素数没有穷尽。所以，你的观点是错的。”钝夫又诚恳地说：“聪教授，你刚才的证明也许是对的。我深信根据欧氏公式完全可求得比第48个梅森素数还要大的‘更大素数’。现我再假设，假设素数至这个‘更大素数’已穷尽。毫无疑问，这个‘更大素数’不是续接第48个梅森素数之后的下一个素数，也即是说，第48个梅森素数至这个‘更大素数’之间必定存在未知的若干个素数。据此，你如何将第48个梅森素数至这个‘更大素数’之间的若干素数，按照‘从小到大依次排列’呢？假如你不能做到‘从小到大依次排列’，那你如何让证明进行下去呢？假如证明不能进行下去，又怎能说对素数没有穷尽问题做出证明了呢？”钝夫一连串推理式的连珠炮般的发问，使聪教授完全无言以对。接着，钝夫将自己的质疑及其因由细说了一遍。之后，一本正经地说：“欧氏证明疑点多多，主要疑点在于：其一，素数没有穷尽主要体现在素数随着自然数的不断扩延而扩延，‘更大素数’之后还有比之更大的‘更、更大素数’。如以求得‘集合’之外的‘更大素数’的证明方法来证明素数没有穷尽问题，其证明方法不仅仅在于求得‘集合’之外的‘更大素数’，同时还有一个续接证明下去的问题，即以第一次假设求得的‘更大素数’为依据提出再假设时，使再假设的证明进行下去。但是，由于欧氏公式所求得的素数只是‘更大素数’，而不是续接‘Pn素数’之后的下一个素数，违背了其自身设置的‘从小到大依次排列’这一条件，因此，欧氏证明在求得‘集合’之外的‘更大素数’之后，不能对以第一次假设求得的‘更大素数’为依据而提出的再假设的证明进行下去。可见，欧几里得的证明，对素数没有穷尽问题并没做出科学证明。其二，事实告诉我们，在没有穷尽的素数中，偶素数于3起已穷尽，而没有穷尽的是奇素数；在没有穷尽的奇素数中，个位数为5的奇素数于6起已穷尽，而没有穷尽的是个位数为1、3、7、9的奇素数。据此，可以说对素数没有穷尽问题的证明，应当包括对‘为什么偶素数于3起可穷尽’‘为什么个位数为5的奇素数于6起可穷尽’‘为什么个位数为1、3、7、9的奇素数不可穷尽’诸问题的证明。不是单一的‘没有穷尽’问题的证明。其正确的证明方法，不仅可用于‘不可穷尽’问题的证明，而且也可用于‘可穷尽’问题的证明。然而，欧氏的证明方法除了可求得‘集合’之外的‘更大素数’外，不能对素数中‘可穷尽’和‘不可穷尽’问题做出科学的、正确的解答。仅凭此两点质疑就可得出结论：欧氏证明只能是求得‘集合’之外的‘更大素数’的一种证明方法，对素数没有穷尽问题并没做出科学证明。”最后，钝夫十分自信而自豪地说：“鄙人之所以敢于对欧几里得的证明提出质疑，是因为我找到了素数中‘可穷尽’和‘不可穷尽’现象的根本原因，发现了其破解的证明方法。”

2.素数没有穷尽问题的内涵及其证明点

不隐瞒说，“引子”中的钝夫就是笔者。

笔者之所以以素数没有穷尽问题开篇，是因为素数没有穷尽问题是素数若干问题中最重要、最久远的话题。

笔者知道，在对素数没有穷尽问题的诸多证明中，欧几里得的证明是被数学界公认为无懈可击、最为完美的证明。笔者之所以敢于提出质疑，是在于发现了欧几里得没有真正读懂素数没有穷尽问题的内涵，弄错了素数没有穷尽问题的证明点。

在数学研究中，笔者一直坚持这样一个观点：要破解数学命题，首先必须读懂命题，只有读懂命题，才能谈得上破解命题。要破解素数没有穷尽问题，同样离不开这个“理”。笔者认为，要对素数没有穷尽问题做出正确的证明，首先要弄清楚素数没有穷尽问题的完整内涵和单一内涵，在此基础上，找准其证明点，即：对素数没有穷尽问题要做出证明的，是求证素数“集合”之外的“更大素数”，还是对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象做出科学解答？

2.1素数没有穷尽问题的完整内涵和单一内涵

笔者认为，素数没有穷尽问题有着“完整内涵”和“单一内涵”之分。

所谓“素数没有穷尽问题的完整内涵”，是指素数中各种“可穷尽”“不可穷尽”现象所反映出来的若干问题。

所谓“素数没有穷尽问题的单一内涵”，是指“完整内涵”中具体的、与之最直接的某个问题。

在此，笔者应指出的，本文说的“完整内涵”和“单一内涵”，与我们通常所说的“广义”“狭义”是有本质区别的。

事实告诉我们，在没有穷尽的素数中，偶素数于3起已穷尽，而没有穷尽的是奇素数；在没有穷尽的奇素数中，个位数为5的奇素数于6起已穷尽，而没有穷尽的是个位数为1、3、7、9的奇素数。据此，笔者认为，素数没有穷尽问题的完整内涵应包括如下五个问题:

问题1素数为什么不可穷尽？

问题2偶素数为什么于3起已穷尽？

问题3奇素数为什么不可穷尽？

问题4个位数为5的奇素数为什么于6起已穷尽？

问题5个位数为1、3、7、9的奇素数为什么不可穷尽？

根据上述的素数没有穷尽问题的完整内涵，笔者认为，素数没有穷尽问题的单一内涵，具体是指“个位数为1、3、7、9的奇素数为什么不可穷尽”之问题。

2.2素数没有穷尽问题的证明点

事实告诉我们，任何数学命题都是来自于对数学中若干现象的发现。要破解来自于对数学中若干现象的数学命题，就是对这些数学现象进行科学分析，然后做出科学解答。笔者认为，不论是从素数没有穷尽问题的完整内涵来看，还是从素数没有穷尽问题的单一内涵来看，素数没有穷尽问题的证明点都不应是求证素数“集合”之外的“更大素数”。而事实也证明这一点。

事实1“没有穷尽”外延的证明

为使人们真正读懂素数没有穷尽问题的证明点不是求证素数“集合”之外的“更大素数”，笔者将欧氏证明原理的应用延伸到对其他数没有穷尽的证明。我们知道，在自然数这个家族中，自然数是没有穷尽的，偶数是没有穷尽的，奇数是没有穷尽的。如果说，素数没有穷尽的证明，就是求得“集合”之外的“更大素数”，那么，对自然数、偶数、奇数没有穷尽的证明，同样是求得“集合”之外的该类“更大数”。现依照欧氏证明原理做出证明。

例1对自然数没有穷尽的证明。

设有限个自然数为n,那么，依照欧氏公式得：

K=P1×P2×P3×……×Pn

式中“P1，P2，P3，……，Pn”为自然数从小到大依次排列。多个自然数相乘之积必定是自然数。因此，K必定是“集合”之外的更大自然数。所以，自然数没有穷尽。此证。

例2对偶数没有穷尽的证明。

设有限个偶数为n,那么，依照欧氏公式得：

K=P1×P2×P3×……×Pn

式中“P1，P2，P3，……，P4”为偶数从小到大依次排列。多个偶数相乘之积必定是偶数。因此，K必定是“集合”之外的更大偶数。所以，偶数没有穷尽。此证。

例3对奇数没有穷尽的证明。

设有限个奇数为n,那么，依照欧氏公式得：

K=P1×P2×P3×……×Pn

式中“P1,P2,P3，……，Pn”为奇数从小到大依次排列。多个奇数相乘之积必定是奇数。因此，K必定是“集合”之外的更大奇数。所以，奇数没有穷尽。此证。

显然，以上诸例证明苍白无力，难以令人信服。

本来，事实已清楚地告诉我们，自然数没有穷尽是在于更大自然数之后还有比之更大的自然数，永远只有更大自然数，没有最后的最大自然数；偶数没有穷尽是在于更大偶数之后还有比之更大的偶数，永远只有更大偶数，没有最后的最大偶数；奇数没有穷尽是在于更大奇数之后还有比之更大的奇数，永远只有更大奇数，没有最后的最大奇数；素数没有穷尽是在于更大素数之后还有比之更大的素数，永远只有更大素数，没有最后的最大素数。既然事实已告诉我们这样一个结果，那么，以求得“集合”之外的该类“更大数”来证明该类数没有穷尽问题，这是不是显得没有多大实际意义呢？！

事实2素数没有穷尽现象的证明

我们知道，在没有穷尽的素数中，奇素数是没有穷尽的；又，没有穷尽的奇素数实际是指个位数为1、3、7、9的奇素数没有穷尽。如果依照欧氏证明原理分别对奇素数以及个位数为1、3、7、9的四支个位数不同的奇素数没有穷尽问题予以证明，其结果将会如何呢。